Mick nous a demandé de lui présenter nos travaux de recherche. Théry et moi n'étions pas très à l'aise, car Mick nous surpassait largement dans ce domaine:

Avant de commencer à résoudre ou analyser des équations, il faut définir les règles qui structurent les expressions dans un langage donné. Cela comprend :

1. Les symboles syntaxiques : Ce sont les éléments de base qui composent les expressions (par exemple, les opérateurs, les variables).

2. Les opérateurs : Ce sont les symboles ou fonctions qui permettent de manipuler les symboles syntaxiques (par exemple, +, -, =).

3. Les règles de formation des structures logiques : Ce sont les lois qui déterminent la manière dont les symboles et les opérateurs peuvent être combinés pour former des expressions valides.

Une fois les règles syntaxiques et structurelles établies, il faut définir ce que chaque expression signifie, c'est-à-dire la sémantique de ces expressions. Cela peut être :

Opérationnelle : Décrit la manière dont les calculs sont effectués.

Axiomatique : Définit des vérités de base à partir desquelles d'autres propositions peuvent être dérivées.

Dénotationnelle : Associe chaque expression à un objet mathématique ou à une entité concrète

Le projet partait donc d’un jeu de logique,

où un système basé sur des axiomes pouvait muter des équations afin d’atteindre une plage de résultats permettant une analyse logique

Ce processus est appelé Mutation Logique:

Entrée :

Situation donnée : 2*x + 5*y = 21

Équation traitée : Eq(2*x + 5*y = 21)

Solutions exactes (forme littérale) : [x = (21 - 5*y)/2]

Contexte utilisateur : (l'utilisateur entre tous les paramétres qu'il souhaite,par exemple : x est pair)

Aucun paramétres entrés

Proposition de l'utilisateur:(Valeur x et y)

x = 5

y = 87

Résultat :

Faux. L’équation ou le contexte est non satisfait.

=> Mutation de l’hypothèse en cours:

Mutations valides proposées :

1. x = -17, y = 11 → Équation vraie

2. x = -12, y = 9 → Équation vraie

3. x = -7, y = 7 → Équation vraie

4. x = -2, y = 5 → Équation vraie

5. x = 3, y = 3 → Équation vraie

6. x = 8, y = 1 → Équation vraie

7. x = 13, y = -1 → Équation vraie

8. x = 18, y = -3 → Équation vraie

Analyse des mutations :

Nombre total de solutions valides proposées : 8 car elles sont contrôlées

Valeurs de x : de -17 à 18

Valeurs de y : de -3 à 11

Analyse Mathematique :

1. Nature de l'equation :

L'equation donnee est une equation lineaire diophantienne a deux inconnues. Nous cherchons des solutions entieres (x, y).

2. Objectif :

L'objectif est de trouver toutes les solutions entieres de l'equation 2x + 5y = 21.

3. Resolution generale :

On isole x : x = (21 - 5y) / 2. Pour que x soit entier, le numerateur (21 - 5y) doit etre pair.

Cela implique que y doit etre impair. On pose alors y = 2n + 1, ou n est un entier.

Cela nous donne x = 8 - 5n.

4. Forme generale des solutions entieres :

Les solutions entieres sont donc donnees par :

x = 8 - 5n

y = 2n + 1

ou n est un entier.

Les solutions entieres sont donc parametrees par n.

5. Verification des mutations proposees :

Par exemple :

n = 0 -> (x = 8, y = 1)

n = 1 -> (x = 3, y = 3)

n = 2 -> (x = -2, y = 5)

n = 3 -> (x = -7, y = 7)

n = 4 -> (x = -12, y = 9)

n = 5 -> (x = -17, y = 11)

n = -1 -> (x = 13, y = -1)

n = -2 -> (x = 18, y = -3)

Ces couples correspondent exactement aux mutations generees.

6. Interpretation geometrique :

L'equation represente une droite dans le plan. Le systeme cherche les points a coordonnees

entieres qui se trouvent sur cette droite, ce qui revient a rechercher l'intersection de la droite avec la grille discrète des entiers.

L'application , centrée sur la manipulation d'équations et les mutations logiques, pourrait apporter des outils intéressants pour explorer des problèmes complexes comme celui de P = NP

1. Exploration des hypothèses par mutation logique :

L'idée de mutation logique dans l'application, où l'on manipule des hypothèses ou des solutions de manière contrôlée, pourrait offrir une méthode de recherche exploratoire dans le domaine de la théorie de la complexité. Le problème P = NP est une question fondamentale en informatique théorique qui concerne la relation entre deux classes de problèmes :

P : les problèmes qui peuvent être résolus en temps polynomial (c'est-à-dire qui peuvent être résolus rapidement par un ordinateur).

NP : les problèmes pour lesquels une solution proposée peut être vérifiée rapidement, même si nous ne savons pas nécessairement comment la trouver rapidement.

Le rôle de l'application dans ce contexte pourrait être d'explorer des solutions partielles ou des mutations des hypothèses en cherchant à vérifier ou invalider des assertions liées à ces classes de problèmes. en introduisant différentes hypothèses ou en appliquant des mutations logiques à un problème NP-complet,

L’application pourrait essayer différentes solutions ou simplifications pour découvrir des patterns ou des stratégies qui nous rapprochent de la solution du problème P = NP.

2. Exploration des systèmes axiomatiques :

Une autre approche dans ce domaine pourrait être l’utilisation d’un système axiomatique. l’application pourrait définir un ensemble de règles de transformation et de raisonnement pour explorer les bases de la complexité algorithmique. Ces règles pourraient être directement appliquées aux problèmes de complexité P ou NP, permettant à l'application de générer et de tester des conjectures sur ces classes de problèmes. Ce processus de mutation pourrait potentiellement conduire à des découvertes sur les relations entre les problèmes en P et en NP.

3. Recherche de solutions partielles ou approximatives :

Les algorithmes approchés ou heuristiques pour des problèmes NP-complets, tels que le problème du voyageur de commerce (TSP) ou le problème de satisfaction de contraintes (CSP), pourraient bénéficier de ce type d’application. L’idée serait d’appliquer des mutations logiques ou des transformations sur des solutions connues pour explorer de nouvelles solutions plus efficaces, tout en gardant la logique de l’application qui cherche à valider les hypothèses. Ce genre d’application pourrait générer un espace de recherche où l’on examine des transformations mathématiques à chaque étape de l’analyse du problème.

4. Modélisation de la difficulté des problèmes NP-complets :

L’application pourrait également être utilisée pour créer des modèles mathématiques de problèmes NP-complets et tester si une transformation donnée pourrait les simplifier ou les résoudre dans un temps polynomial. Par exemple, pour le problème du coloriage de graphe (qui est NP-complet), l’application pourrait tester différentes configurations de couleur (mutation logique) pour explorer si une solution optimale peut être obtenue.

5. Apport de la mutation dans la recherche de contre-exemples ou preuves :

L’un des plus grands défis dans la démonstration de P = NP est la difficulté de prouver la validité des hypothèses. Un des résultats clés dans cette recherche est la capacité de trouver des contre-exemples ou de démontrer l’impossibilité de réduire un problème NP-complet à un problème en P en un temps polynomial. L’application, avec ses mutations et sa capacité à manipuler des hypothèses, pourrait servir d’outil pour générer des contre-exemples ou pour tester de manière exhaustive des transformations qui pourraient démontrer cela.

Contributions possibles de l’application à P=NP :

1. Exploration systématique des relations entre des classes de problèmes et hypothèses liées à P = NP, grâce à des mutations ou transformations logiques.

2. Simulation de processus de simplification ou de réduction de problèmes NP-complets en utilisant un ensemble d’opérations logiques, cherchant des pistes pour simplifier ces problèmes en temps polynomial.

3. Génération de conjectures et vérification systématique des hypothèses, en testant des solutions possibles et en les mutant pour trouver de nouvelles voies vers une réponse.

4. Analyse de la structure interne des problèmes NP-complets : tester de manière efficace des solutions approximatives et explorer les solutions sous différents angles.

5. Optimisation des algorithmes heuristiques : l’application pourrait aider à créer des versions optimisées de certains algorithmes NP-complets, en testant des transformations logiques pour réduire leur complexité

Bien que l’application puisse fournir des outils puissants pour tester et manipuler des hypothèses sur des problèmes NP-complets, il est important de noter que la preuve formelle nécessiterait probablement plus qu'une exploration algorithmique ou logique. Une démonstration complète nécessiterait probablement de nouvelles avancées théoriques en mathématiques et en informatique théorique. Cependant, cette approche pourrait offrir un environnement d’expérimentation utile pour tester des idées et hypothèses plus petites dans ce vaste domaine.

L'application pourrait aider dans la recherche de P = NP en explorant différentes hypothèses et en fournissant une plateforme pour tester des solutions, des transformations et des conjectures dans un espace logique étendu.

Mick avait un sourire en coin, faisant légèrement plisser seulement le côté droit de ses lèvres.