⚠️ Alors dans ce livre, nous allons parler des calcul scientifiques . ⚠️

Chapitre — Fondements mathématiques de la mécanique classique

1. Principe fondamental de la dynamique

La mécanique classique repose sur une relation fondamentale reliant le mouvement d’un système aux interactions qu’il subit. Dans un référentiel galiléen, cette relation s’écrit :

∑F⃗=ma⃗\sum \vec{F} = m\vec{a}∑F=ma

où ∑F⃗\sum \vec{F}∑F représente la somme vectorielle des forces appliquées au système, mmm sa masse, et a⃗\vec{a}a son accélération.

Cette équation exprime que l’accélération n’est pas une propriété intrinsèque du corps, mais la conséquence directe des interactions avec son environnement.

2. Application au mouvement rectiligne

Dans le cas d’un mouvement rectiligne selon un axe xxx, l’équation vectorielle se réduit à une équation scalaire :

∑Fx=md2xdt2\sum F_x = m \frac{d^2x}{dt^2}∑Fx​=mdt2d2x​

Si la force résultante est constante, Fx=F0F_x = F_0Fx​=F0​, alors :

d2xdt2=F0m\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F_0}{m}dt2d2x​=mF0​​

En intégrant par rapport au temps :

dxdt=v(t)=F0mt+v0\frac{dx}{dt} = v(t) = \frac{F_0}{m}t + v_0dtdx​=v(t)=mF0​​t+v0​

Puis :

x(t)=F02mt2+v0t+x0x(t) = \frac{F_0}{2m}t^2 + v_0 t + x_0x(t)=2mF0​​t2+v0​t+x0​

On obtient ainsi une loi horaire quadratique, signature d’un mouvement uniformément accéléré.

3. Énergie cinétique et travail

Une approche alternative à celle des forces consiste à introduire l’énergie.

L’énergie cinétique d’un point matériel est définie par :

Ec=12mv2E_c = \frac{1}{2}mv^2Ec​=21​mv2

Le travail d’une force F⃗\vec{F}F lors d’un déplacement élémentaire dr⃗d\vec{r}dr est :

δW=F⃗⋅dr⃗\delta W = \vec{F} \cdot d\vec{r}δW=F⋅dr

En utilisant la deuxième loi de Newton, on montre que :

δW=ma⃗⋅dr⃗\delta W = m\vec{a} \cdot d\vec{r}δW=ma⋅dr

Or, puisque a⃗=dv⃗dt\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}a=dtdv​ et dr⃗=v⃗dtd\vec{r} = \vec{v}dtdr=vdt, on obtient :

δW=mv⃗⋅dv⃗\delta W = m \vec{v} \cdot d\vec{v}δW=mv⋅dv

En intégrant :

W=ΔEcW = \Delta E_cW=ΔEc​

Ce résultat constitue le théorème de l’énergie cinétique.

4. Énergie potentielle et conservation

Lorsqu’une force dérive d’un potentiel EpE_pEp​, elle peut s’écrire :

F⃗=−∇Ep\vec{F} = -\nabla E_pF=−∇Ep​

Dans ce cas, on définit l’énergie mécanique :

Em=Ec+EpE_m = E_c + E_pEm​=Ec​+Ep​

Si le système est isolé et soumis uniquement à des forces conservatives :

dEmdt=0\frac{dE_m}{dt} = 0dtdEm​​=0

La conservation de l’énergie devient alors un outil puissant pour décrire le mouvement sans résoudre explicitement les équations différentielles.

5. Formulation lagrangienne

La formulation moderne de la mécanique remplace la notion de force par celle d’action.

On définit le lagrangien :

L=Ec−EpL = E_c - E_pL=Ec​−Ep​

L’évolution du système est telle que l’action :

S=∫t1t2L dtS = \int_{t_1}^{t_2} L \, dtS=∫t1​t2​​Ldt

est stationnaire. Cette condition conduit aux équations d’Euler–Lagrange :

ddt(∂L∂q˙)−∂L∂q=0\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0dtd​(∂q˙​∂L​)−∂q∂L​=0

Ces équations généralisent les lois de Newton et s’appliquent à des systèmes complexes, contraints ou multidimensionnels.

6. Portée et limites

La mécanique classique fournit une description précise tant que :

v≪cetE≫ℏωv \ll c \quad \text{et} \quad E \gg \hbar\omegav≪cetE≫ℏω

En dehors de ces domaines, elle est remplacée par :

• la relativité pour les vitesses élevées,
  
• la mécanique quantique pour les systèmes microscopiques.
  

Conclusion

La mécanique classique peut être abordée sous trois angles équivalents :

• forces (Newton),
  
• énergie (conservation),
  
• action (Lagrange).
  

Cette structure mathématique rigoureuse constitue le socle de toute la physique moderne.